Tabela de verdade
No artigo anterior, aprendemos a função e valores de verdade da negação, conjunção, disjunção, condicional e bicondicional. Aprendemos também como identificar se uma proposição é verdadeira ou falsa dado o valor de verdade de seus componentes. Agora podemos avançar para o próximo tema da lógica proposicional: a tabela de verdade.
A tabela de verdade permite saber o valor de verdade de uma proposição composta a partir de todos os possíveis valores de verdade de seus componentes. Cada linha da tabela de verdade representa uma das possíveis combinações de valores de verdade.
Número de linhas da tabela de verdade
Para construir uma tabela de verdade, o primeiro passo é determinar seu número de linhas. Esse é o número de possíveis combinações de valores de verdade das proposições simples. Assim, se deseja construir a tabela de verdade de uma proposição simples como p, então seu número de linhas será dois, já que há apenas dois valores de verdade para p: verdadeiro ou falso.
| q |
| V |
| F |
A tabela de verdade de duas proposições, p e q, terá quatro linhas, porque as possíveis combinações são quatro: p verdadeiro e q falso, p falso e q verdadeiro, p e q verdadeiro e p e q falso.
| p | q |
| V | V |
| V | F |
| F | V |
| F | F |
A tabela abaixo apresenta a relação entre número de proposições simples e o número de linhas de uma tabela de verdade:
| Número de proposições simples | Número de linhas da tabela de verdade |
| 1 | 2 |
| 2 | 4 |
| 3 | 8 |
| 4 | 16 |
| 5 | 32 |
| 6 | 64 |
Para identificar o número de linhas, basta usar a seguinte fórmula
L = 2n
em que L significa o número de linhas e n o número de proposições simples.
Exemplo de tabelas de verdade com duas proposições
Vamos construir algumas tabelas de verdade para observar como isso é feito. Para iniciar, usaremos a seguinte proposição: (p ∧ q) ∧ (p → q).
Passo 1: a afirmação tem duas proposições simples, p e q, portanto nossa tabela de verdade deve ter quatro linhas.
| (p ∧ | q) ∧ | (p | → q) |
Passo 2: na primeira coluna do p atribua V para as duas primeiras linhas e F para as duas últimas.
| (p ∧ | q) ∧ | (p | → q) |
| V | |||
| V | |||
| F | |||
| F |
Passo 3: para obter todas as possíveis combinações, na coluna no q basta intercalar V e F.
| (p ∧ | q) ∧ | (p | → q) |
| V | V | ||
| V | F | ||
| F | V | ||
| F | F |
Com isso você terá todas as combinações possíveis de valor de verdade das proposições p e q.
Passo 5: agora, basta repetir os valores de verdade de p e q na terceira e quarta colunas.
| (p | ∧ | q) | ∧ | (p | → | q) |
| V | V | V | V | |||
| V | F | V | F | |||
| F | V | F | V | |||
| F | F | F | F |
Passo 6: concluída a atribuição de V e F para as proposições, é hora de calcular o valor de verdade dos conectivos. Primeiro os que estão entre parênteses e em seguida o principal. Para fazer isso deve lembrar do artigo anterior, no qual identificamos os possíveis valores de verdade de cada conectivo. O resultado será:
| (p | ∧ | q) | ∧ | (p | → | q) |
| V | V | V | V | V | V | |
| V | V | F | V | F | F | |
| F | V | V | F | V | V | |
| F | F | F | F | V | F |
Passo 7: para concluir, basta calcular o valor de verdade do operador principal, nesse caso a conjunção que está ligando os conjuntos entre parênteses. Nesse caso, faça o cálculo considerando o valor de verdade da disjunção e da condicional, identificados na tabela anterior.
| (p | ∧ | q) | ∧ | (p | → | q) |
| V | V | V | V | V | V | V |
| V | V | F | F | V | F | F |
| F | V | V | V | F | V | V |
| F | F | F | F | F | V | F |
E assim chegamos ao resultado: VFVF. O que significa isso? (p ∧ q) é uma proposição contingente. ∧
Exemplo de tabela de verdade com três proposições
Agora vamos construir uma tabela de verdade mais complexa, envolvendo três proposições: (~p ∧ q) ↔ r.
Passo 1: defina os valores de verdade das proposições simples. Lembrando que nesse caso, a tabela de verdade deverá ter oito linhas e os valores de verdade devem ser organizados de tal forma que todas as possíveis combinações sejam representadas.
| (~ | p | ∧ | q) | ↔ | r |
| V | V | V | |||
| V | V | F | |||
| V | F | V | |||
| V | F | F | |||
| F | V | V | |||
| F | V | F | |||
| F | F | V | |||
| F | F | F |
Passo 2: identifique os possíveis valores de verdade da negação. Basta inverter valor de verdade de p
| (~ | p | ∧ | q) | ↔ | r |
| F | V | V | V | ||
| F | V | V | F | ||
| F | V | F | V | ||
| F | V | F | F | ||
| V | F | V | V | ||
| V | F | V | F | ||
| V | F | F | V | ||
| V | F | F | F |
Passo 3: identifique os possíveis valores de verdade da conjunção entre ~p e q.
| (~ | p | ∧ | q) | ↔ | r |
| F | V | F | V | V | |
| F | V | F | V | F | |
| F | V | F | F | V | |
| F | V | F | F | F | |
| V | F | V | V | V | |
| V | F | V | V | F | |
| V | F | F | F | V | |
| V | F | F | F | F |
Passo 4: para concluir, basta identificar os possíveis valores de verdade da bicondicional, considerando os valores de verdade de r e da conjunção entre ~p e q.
| (~ | p | ∧ | q) | ↔ | r |
| F | V | F | V | F | V |
| F | V | F | V | F | F |
| F | V | F | F | F | V |
| F | V | F | F | F | F |
| V | F | V | V | V | V |
| V | F | V | V | F | F |
| V | F | F | F | F | V |
| V | F | F | F | V | F |
E assim chegamos a um resultado. Assim como na tabela anterior com duas proposições, (~p ∧ q) ↔ r é uma proposição contingente.