Introdução à lógica proposicional

A lógica proposicional é uma das formas mais simples e fundamentais da lógica formal. Como o nome sugere, ela se concentra no estudo das relações lógicas que existem entre proposições quando são conectadas por meio de conectivos como “e”, “ou”, “não” e “se… então”.

Por exemplo, podemos usar o conectivo “e” para unir as proposições “João é alto” e “Maria é baixa” para obter a proposição “João é alto e Maria é baixa”. Podemos usar o conectivo “ou” para unir as proposições “o sol está brilhando” e “está chovendo” para obter a proposição “o sol está brilhando ou está chovendo”.

A lógica proposicional também estuda as regras que determinam os valores de verdade das proposições quando elas são unidas por conectivos lógicos. Por exemplo, se as proposições “João é alto” e “Maria é baixa” são verdadeiras, então a proposição “João é alto e Maria é baixa” também é verdadeira. No entanto, se uma das proposições for falsa, então a proposição composta será falsa. O que define isso é como funciona o conectivo “e”. Se, ao invés de “e”, usarmos o “ou” para unirmos uma proposição verdadeira e uma falsa, formaremos uma proposição verdadeira.

Outro aspecto importante da lógica proposicional é a sua aplicação em argumentos. A validade de um argumento depende dos conectivos lógicos usados para unir várias proposições. Por exemplo, considere o seguinte argumento:

Se está chovendo, a rua está molhada.

Está chovendo.

Portanto, a rua está molhada.

Este argumento é válido porque a conclusão segue necessariamente das premissas. Se ambas as premissas forem verdadeiras, então a conclusão também será verdadeira. Sua validade depende do funcionamento do conectivo “Se… então” e de como as proposições foram unidas por meio dele. 

Por fim, a lógica proposicional também se preocupa com as propriedades lógicas das proposições, como serem tautologicamente verdadeiras, contingentes ou autocontraditórias. Por exemplo, a proposição “Todos os solteiros não estão casados” é tautologicamente verdadeira, pois é uma definição do que é ser solteiro e não pode ser falsa. A proposição “Hoje é terça-feira” é contingente, pois é verdadeira hoje, mas não seria verdadeira em outros dias da semana. A proposição “O sol é uma estrela e o sol não é uma estrela” é autocontraditória, pois não tem como ser verdadeira.

História da lógica proposicional

Os estoicos, uma escola filosófica que se originou na Grécia Antiga no século III a.C., tiveram um papel fundamental no desenvolvimento da lógica proposicional. Fundada por Zenão de Cítio, a escola estoica valorizava a lógica como uma das partes essenciais de seu sistema filosófico, ao lado da ética e da física.

A lógica estoica era caracterizada por sua ênfase nas proposições e nos conectivos lógicos, o que a distinguia da lógica aristotélica, mais focada na lógica de termos. Os estoicos foram os primeiros a desenvolver uma teoria sistemática da lógica proposicional, incluindo a análise das proposições compostas e as regras de inferência.

Crisipo de Solos (aproximadamente 280-205 a.C.), um dos líderes da escola estoica depois da morte de Zenão, desenvolveu regras de inferência para a lógica proposicional, como o modus ponens (se P implica Q e P é verdadeiro, então Q é verdadeiro) e o modus tollens (se P implica Q e Q é falso, então P é falso). Essas regras permitiam aos estoicos formular argumentos válidos e identificar falácias lógicas.

A lógica estoica foi em grande parte substituída pela lógica aristotélica durante a Idade Média. O renascimento do interesse pela lógica proposicional ocorreu apenas no século XIX com o trabalho de George Boole, um matemático e lógico britânico. Ele desenvolveu a álgebra booleana, uma notação matemática para representar e manipular proposições e suas relações. A obra de Boole estabeleceu as bases para a lógica proposicional moderna e foi fundamental para o desenvolvimento da computação digital.

A partir disso, a lógica proposicional passou por vários desenvolvimentos. No início do século XX, Eugen Müller criou as tabelas de verdade. Essas são representações gráficas das possíveis combinações de valores verdadeiros e falsos para proposições e conectivos lógicos. Com seu uso é possível avaliar precisamente se um determinado conjunto de proposições é válido ou não, o que nem sempre é fácil sem o uso desse recurso. Tome como exemplo o argumento abaixo: 

Se Mariana estudar muito, entrará na universidade.

Mariana entrou na universidade.

Portanto, Mariana estudou muito.

Podemos tirar essa conclusão das premissas?

O desenvolvimento da lógica proposicional permite analisar e avaliar a validade de argumentos como esse, identificando se a conclusão é verdadeira com base nas premissas apresentadas. Além disso, é fundamental em áreas como a matemática, programação, linguística entre outras.