Conectivos lógicos

Como vimos no artigo anterior, podemos combinar várias proposições simples para criar proposições mais complexas usando conectivos lógicos.

Por exemplo:

• Proposição simples 1: “Hoje está ensolarado.”
• Proposição simples 2: “Vou ao parque.”
• Proposição composta: “Hoje está ensolarado e vou ao parque.”

Os conectivos lógicos usados para isso são: conjunção (e), disjunção (ou), condicional (se… então…) e bicondicional (se e somente se). Vamos explorar cada um deles com exemplos.

Negação

Mariana não gosta de Tiago	~ T
Não é verdade que Mariana gosta de Tiago.	~ T
É falso que Mariana gosta de Tiago.	~ T

As três frases acima foram escritas de maneira diferente, mas, do ponto de vista lógico, têm o mesmo significado e são traduzidas da mesma forma. ~ T é uma forma de dizer que a proposição “Mariana gosta de Tiago” é falsa.

Em proposições compostas, a negação pode ser usada de duas maneiras. Frases como “se chover, a temperatura não irá aumentar” são representadas dessa forma: C → ~T.

Já frases como “é falso que chove e faz sol ao mesmo tempo” são representadas assim: ~ (C ^ S ). Nesse caso é necessário o uso de parênteses para evitar confusão. Caso essa frase fosse traduzida assim ~ C ∧ S, estaria dizendo “não chove e faz sol”.

A proposição ~ (C ^ S ) é chamada de negação, pois seu operador principal é a negação.

Quando usamos a notação correta para representar proposições do português geramos as chamadas “fórmulas bem formadas”, FBS para abreviar. Ser capaz de fazer isso é fundamental para usar tabelas de verdade para avaliar argumentos.

Conjunção

O símbolo de conjunção ∧ é usado para traduzir palavras como “e”, “também”, “além disso”, “mas”, “porém”, “ainda”, “contudo” etc. Observe as frases abaixo.

Maria gosta de Pedro, mas Pedro gosta de João.	M ∧ J
Antônio e Lorenzo gostam de videogame	A ∧ L
A loja da esquina vende telefone, mas a do outro lado da rua vende telefone e computador.	E ∧ (T ∧ C)

Na primeira linha da tabela, a proposição “Maria gosta de Pedro” é representada pela letra M, o conectivo “mas”, que é uma conjunção, pelo símbolo ∧ e a segunda proposição, “Pedro gosta de João”, pela letra J.

As proposições compostas cujo operador principal é uma conjunção são chamadas de conjunções. Sendo assim, todas as proposições abaixo são conjunções:

• (A ∧ B) ∧ (P → Q)
• A ∧ E
• [ (A ∧ B) ∧ (P → Q) ] ∧ [ (E ∧ C) ∧ (P ↔ Q) ]

Disjunção

O símbolo de disjunção ∨ é usado para traduzir a palavra “ou”.

Maria gosta de Pedro ou de João.	M ∨ J
Antônio ou Lorenzo gostam de videogame	A ∨ L

Na primeira linha da tabela, M representa a proposição “Maria gosta de Pedro”, J a proposição “Maria gosta de João” e o símbolo ∨ representa o conectivo “ou”.

Proposições cujo operador principal é uma disjunção são chamadas de disjunções. Todas as proposições abaixo são disjunções:

• (A ∧ B) ∨ (P → Q)
• A ∨ E
• [ (A ∧ B) ∧ (P → Q) ] ∨ [ (E ∧ C) ∧ (P ↔ Q) ]

Condicional

O símbolo de condicional → é usado para traduzir expressões como “se… então…”, “se”, “no caso de”, “com a condição de que”. Exemplos:

Se o passarinho se distrair, o gato vai atacar	P → G
Irei vender minha casa no caso de a economia melhorar	V → M
Participarei do jogo na condição de que todos se tratem com respeito	P → T

No caso de proposições condicionais, é necessário um cuidado adicional ao traduzi-las para a linguagem simbólica. A ordem na qual as proposições são dispostas faz diferença. M → V e V → M são proposições diferentes e com valor de verdade diferente. Dizer “se a economia melhorar, irei vender minha casa” e “se vender minha casa, a economia vai melhorar” não é a mesma coisa.

Então, quando for traduzir proposições condicionais, deve antes identificar seu antecedente e consequente. O antecedente é a condição estabelecida para que um evento ocorra, o consequente. Na frase “se o passarinho se distrair, o gato vai atacar”, a condição antecedente é “se o passarinho se distrair”, pois estabelece a condição para que o consequente ocorra, o ataque do gato. Porém, na frase “venderei minha casa no caso da economia melhorar” essa ordem se inverte. A condição é estabelecida pela frase “se a economia melhorar” e o consequente é “venderei minha casa”.

Ao traduzir proposições condicionais, use a seguinte estrutura:

Antecedente  → consequente 

Proposições que têm como operador principal uma condicional são chamadas de condicionais. Todas as proposições abaixo são condicionais:

• (A ∧ B) → (P → Q)
• A → E
• [ (A ∧ B) ∧ (P → Q) ] → [ (E ∧ C) ∧ (P ↔ Q) ]

Bicondicional

O símbolo de bicondicional ↔ é usado para traduzir expressões como “se e somente se” e “é condição necessária e suficiente para”. Exemplos

Te darei uma cadeira se e somente se não tiver uma	C ↔ N
O candidato será eleito se e somente se fizer a maioria dos votos	C ↔ V

A diferença entre proposições condicionais e bicondicionais se deve ao fato de que a primeira estabelece uma condição suficiente para a ocorrência de um evento e a segunda uma condição necessária e suficiente.

Compare a afirmação “te darei uma cadeira se e somente se não tiver uma” e “se a economia melhorar, venderei minha casa”. No primeiro caso, há uma condição que é necessária e suficiente para o presente: se a pessoa já tiver uma cadeira, não ganhará outra, caso tenha, ganhará uma. No segundo caso, a condição é apenas suficiente para vender a casa. A economia melhorando, isso vai acontecer. No entanto, essa não é uma condição necessária. Talvez uma pessoa que ganhou na loteria e não sabe o que fazer com o dinheiro se apaixone pela casa e queira comprar a qualquer custo. Dessa forma, a casa será vendida mesmo se a economia não melhorar.

Proposições que têm como operador principal uma bicondicional são chamadas de bicondicionais. Todas as proposições abaixo são bicondicionais:

• (A ∧ B) ↔ (P → Q)
• A ↔ E
• [ (A ∧ B) ∧ (P → Q) ] ↔ [ (E ∧ C) ∧ (P ↔ Q) ]

Tabela de conectivos lógicos

Na tabela abaixo você pode ver um resumo o símbolo, nome e expressões do português que correspondem a um determinado conectivo lógico.

Conectivo	Função	Usado para traduzir
~	Negação	não, não é o caso que, não é verdade que
∧	Conjunção	e, também, além de
∨	Disjunção	ou, mas
→	Condicional	se… então…, apenas se
↔	Bicondicional	se e somente se

Uma ressalva importante. Quando dizemos que esses conectivos são usados para traduzir certas expressões do português é necessária cautela. As palavras do português geralmente têm mais de um significado, que se altera em função do contexto. Os conectivos lógicos, ao contrário, têm apenas um significado.