Definição dos conectivos lógicos
Depois de vermos no artigo anterior o que é uma conjunção, negação, disjunção, condicional e bicondicional, o próximo passo é entender seu valores de verdade utilizando tabelas de verdade.
Negação
Tomo como exemplo a proposição “não existem fantasmas” ~ p. Se a proposição “existem fantasmas” for verdadeira, então ~ p é falsa. Porém, se ela for falsa, então ~ p é verdadeira. Na tabela de verdade, a negação é representada da seguinte maneira:
| Existem fantasmas | Não existem fantasmas |
| p | ~ p |
| V | F |
| F | V |
Conjunção
Considere a proposição composta “hoje choveu e acabou a luz” p ∧ q. Para construirmos uma tabela de verdade dessa proposição precisamos de quatro linhas, representado todas as possíveis combinações de valores de verdade.
| Hoje choveu | acabou a luz | Hoje choveu e acabou a luz |
| p | q | p ∧ q |
| V | V | V |
| V | F | F |
| F | V | F |
| F | F | F |
Um proposição p ∧ q só será verdadeira se as duas proposições simples que a compõe também forem verdadeiras. Considerando nosso exemplo, se é verdade que “hoje choveu” e que “hoje acabou a luz”, então a proposição p ∧ q será verdadeira. Se apenas “hoje choveu” ou “hoje acabou a luz” forem verdadeiras, p ∧ q será falso.
Note que isso ocorre por causa do significado da conjunção. Quando dizemos que “hoje choveu e acabou a luz” estamos dizendo que as duas coisas aconteceram e portanto as duas proposições são verdadeiras.
Disjunção
Na lógica proposicional, a disjunção tem um significado um tanto incomum. Quando usamos o conectivo “ou” para ligar duas proposições simples queremos dizer que apenas uma delas é verdadeira. Por exemplo, na proposição “hoje vai fazer frio ou calor”, queremos dizer que apenas uma dessas coisas irá acontecer. Portanto, apenas uma das proposições que formam a disjunção é verdadeira.
A disjunção acima é chamada de exclusiva. Além dela, também existe a disjunção inclusiva, menos comum mas também encontrada na linguagem natural. Se digo, por exemplo, que “o Machado de Assis ou o Guimarães Rosa são escritores muito talentosos”, quero dizer que as duas proposições simples que formam a proposição composta são verdadeiras. A tabela de verdade da disjunção inclusiva fica assim:
| Machado de Assis é talentoso | Guimarães Rosa é talentoso | Machado de Assis ou Guimarães Rosa são talentosos |
| p | q | p ∨ q |
| V | V | V |
| V | F | V |
| F | V | V |
| F | F | F |
A conjunção p ∨ q não será verdadeira apenas se as duas proposições que a compõem forem falsas. Se afirmo que “Machado de Assis ou o Guimarães Rosa são escritores muito talentosos”, mas nenhum é talentoso, então minha afirmação é falsa. No entanto, se pelo menos uma for verdadeira, a proposição como um todo também será.
Condicional
Uma proposição condicional é falsa apenas se o antecedente for verdadeiro e o consequente falso.
| Se chover | o calor diminuirá | Se chover o calor diminuirá |
| p | q | p → q |
| V | V | V |
| V | F | F |
| F | V | V |
| F | F | V |
A tabela da condicional não é tão intuitiva como as anteriores, então vamos analisar cada uma de suas linhas através de exemplos. Considere a proposição “se chover, o calor diminuirá”.
Primeiro: suponha que de fato choveu e o calor diminuiu, ou seja que p e q são verdadeiros, tal como representado na terceira linha da tabela de verdade. Nesse caso, a proposição composta “se chover, o calor diminuirá” é verdadeira.
Segundo: Suponha, tal como representado na quarta linha da tabela de verdade, que choveu mas o calor não diminuiu, p é verdadeiro, mas q é falso. Nesse caso, a proposição composta “se chover, o calor diminuirá” é falsa. Afinal, a previsão não se confirmou.
Terceiro: suponha que não choveu mas ainda assim o calor diminuiu por outra razão. Nesse caso, p é falso (não choveu), mas q é verdadeiro (o calor diminuiu). Nesse caso, a proposição composta “se chover, o calor diminuirá” é verdadeira. A razão é que a previsão não foi invalidada. Do ponto de vista lógico, “se chover, o calor diminuirá” não significa “o calor diminuirá apenas se chover”. Ela não exclui que o calor possa diminuir por outras causas além da chuva.
Quarto: suponha que não teve chuva nem redução do calor, p é falso e q também é falso. Nesse último caso, a proposição composta “se chover, o calor diminuirá” também é verdadeira, pois o que aconteceu não a torna incorreta.
Quando pensar na tabela de verdade da condicional, lembre que para uma proposição condicional ser considerada verdadeira basta que os fatos não mostrem o contrário. Não é necessário que os fatos confirmem o que é afirmado para considerarmos ela verdadeira.
Bicondicional
Considere a proposição “se e somente se chover a temperatura diminuirá”. A única diferença em relação à condicional é que uma bicondicional será falsa se a temperatura diminuir mesmo sem chover.
| p | q | p ↔ q |
| V | V | V |
| V | F | F |
| F | V | F |
| F | F | V |
Se afirmo se e somente se chover a temperatura diminuirá e ela diminui sem ter chovido, então estava errado. Da mesma forma que estaria errado se a chuva ocorresse e a temperatura não diminuísse.
Em resumo
- Uma conjunção só é verdadeira quando todas as proposições são verdadeiras.
- Uma disjunção só é falsa quando as duas proposições são falsas.
- Uma condicional só é falsa quando o antecedente é verdadeiro e o consequente falso.
- Uma bicondicional é verdadeira quando as duas proposições são verdadeiras ou falsas.
Identificando o valor de verdade de uma proposição complexa
Agora que conhece como funcionam os conectivos lógicos, já pode calcular o valor de verdade de proposições mais complexas. Suponha que você sabe que A e C são verdadeiros e B é falso. Nesse caso, a proposição abaixo é verdadeira ou falsa?
(A ∧ B) → C
Para descobrir, primeiro substitua as letras por seus valores de verdade:
Proposição: (A ∧ B) → C
Passo 1: (V ∧ F) → V
Em seguida, calcule o valor de verdade da proposição entre parênteses. Sabemos que a conjunção é falsa quando uma das proposições é falsa. Portanto:
Proposição: (A ∧ B) → C
Passo 1: (V ∧ F) → V
Passo 2: F → V
Agora, é só calcular o resultado da última linha. Sabemos que uma condicional que tem o precedente falso e o consequente verdadeiro é verdadeira. Portanto:
Proposição: (A ∧ B) → C
Passo 1: (V ∧ F) → V
Passo 2: F → V
Passo 3: F → V = V
A proposição (A ∧ B) → C, considerando que A e C são verdadeiros e B é falso, é verdadeira.