Conectivos lógicos

Para conectar proposições simples ou alterar seu valor de verdade, são usados os conectivos lógicos. A tabela abaixo lista os conectivos, seu símbolo, função e expressões do português que traduzem.

Conectivo	Função	Usado para traduzir
~	Negação	não, não é o caso que, não é verdade que
∧	Conjunção	e, também, além de
∨	Disjunção	ou, mas
→	Condicional	se… então…, apenas se
↔	Bicondicional	se e somente se

Quando dizemos que esses conectivos são usados para traduzir certas expressões do português é necessária cautela. As palavras do português geralmente têm mais de um significado, que se altera em função do contexto. Os conectivos lógicos, ao contrário, têm apenas um significado.

Entendido esse ponto, podemos ver como usar os conectivos para traduzir frases do português.

Negação

Mariana não gosta de Tiago	~ T
Não é verdade que Mariana gosta de Tiago.	~ T
É falso que Mariana gosta de Tiago.	~ T

As três frases acima foram escritas de maneira diferente, mas, do ponto de vista lógico, têm o mesmo significado e são traduzidas da mesma forma. ~ T é uma forma de dizer que a proposição “Mariana gosta de Tiago” é falsa.

Em proposições compostas, a negação pode ser usada de duas maneiras. Frases como “se chover, a temperatura não irá aumentar” são representadas dessa forma: C → ~T.

Já frases como “é falso que chove e faz sol ao mesmo tempo” são representadas assim: ~ (C ^ S ). Nesse caso é necessário o uso de parênteses para evitar confusão. Caso essa frase fosse traduzida assim ~ C ∧ S, estaria dizendo “não chove e faz sol”.

A proposição ~ (C ^ S ) é chamada de negação, pois seu operador principal é a negação.

Quando usamos a notação correta para representar proposições do português geramos as chamadas “fórmulas bem formadas”, FBS para abreviar. Ser capaz de fazer isso é fundamental para usar tabelas de verdade para avaliar argumentos.

Conjunção

O símbolo de conjunção ∧ é usado para traduzir palavras como “e”, “também”, “além disso”, “mas”, “porém”, “ainda”, “contudo” etc. Observe as frases abaixo.

Maria gosta de Pedro, mas Pedro gosta de João.	M ∧ J
Antônio e Lorenzo gostam de videogame	A ∧ L
A loja da esquina vende telefone, mas a do outro lado da rua vende telefone e computador.	E ∧ (T ∧ C)

Na primeira linha da tabela, a proposição “Maria gosta de Pedro” é representada pela letra M, o conectivo “mas”, que é uma conjunção, pelo símbolo ∧ e a segunda proposição, “Pedro gosta de João”, pela letra J.

As proposições compostas cujo operador principal é uma conjunção são chamadas de conjunções. Sendo assim, todas as proposições abaixo são conjunções:

• (A ∧ B) ∧ (P → Q)
• A ∧ E
• [ (A ∧ B) ∧ (P → Q) ] ∧ [ (E ∧ C) ∧ (P ↔ Q) ]

Disjunção

O símbolo de disjunção ∨ é usado para traduzir a palavra “ou”.

Maria gosta de Pedro ou de João.	M ∨ J
Antônio ou Lorenzo gostam de videogame	A ∨ L

Na primeira linha da tabela, M representa a proposição “Maria gosta de Pedro”, J a proposição “Maria gosta de João” e o símbolo ∨ representa o conectivo “ou”.

Proposições cujo operador principal é uma disjunção são chamadas de disjunções. Todas as proposições abaixo são disjunções:

• (A ∧ B) ∨ (P → Q)
• A ∨ E
• [ (A ∧ B) ∧ (P → Q) ] ∨ [ (E ∧ C) ∧ (P ↔ Q) ]

Condicional

O símbolo de condicional → é usado para traduzir expressões como “se… então…”, “se”, “no caso de”, “com a condição de que”. Exemplos:

Se o passarinho se distrair, o gato vai atacar	P → G
Irei vender minha casa no caso de a economia melhorar	V → M
Participarei do jogo na condição de que todos se tratem com respeito	P → T

No caso de proposições condicionais, é necessário um cuidado adicional ao traduzi-las para a linguagem simbólica. A ordem na qual as proposições são dispostas faz diferença. M → V e V → M são proposições diferentes e com valor de verdade diferente. Dizer “se a economia melhorar, irei vender minha casa” e “se vender minha casa, a economia vai melhorar” não é a mesma coisa.

Então, quando for traduzir proposições condicionais, deve antes identificar seu antecedente e consequente. O antecedente é a condição estabelecida para que um evento ocorra, o consequente. Na frase “se o passarinho se distrair, o gato vai atacar”, a condição antecedente é “se o passarinho se distrair”, pois estabelece a condição para que o consequente ocorra, o ataque do gato. Porém, na frase “venderei minha casa no caso da economia melhorar” essa ordem se inverte. A condição é estabelecida pela frase “se a economia melhorar” e o consequente é “venderei minha casa”.

Ao traduzir proposições condicionais, use a seguinte estrutura:

Antecedente → consequente

Proposições que têm como operador principal uma condicional são chamadas de condicionais. Todas as proposições abaixo são condicionais:

• (A ∧ B) → (P → Q)
• A → E
• [ (A ∧ B) ∧ (P → Q) ] → [ (E ∧ C) ∧ (P ↔ Q) ]

Bicondicional

O símbolo de bicondicional ↔ é usado para traduzir expressões como “se e somente se” e “é condição necessária e suficiente para”. Exemplos

Te darei uma cadeira se e somente se não tiver uma	C ↔ N
O candidato será eleito se e somente se fizer a maioria dos votos	C ↔ V

A diferença entre proposições condicionais e bicondicionais se deve ao fato de que a primeira estabelece uma condição suficiente para a ocorrência de um evento e a segunda uma condição necessária e suficiente.

Compare a afirmação “te darei uma cadeira se e somente se não tiver uma” e “se a economia melhorar, venderei minha casa”. No primeiro caso, há uma condição que é necessária e suficiente para o presente: se a pessoa já tiver uma cadeira, não ganhará outra, caso tenha, ganhará uma. No segundo caso, a condição é apenas suficiente para vender a casa. A economia melhorando, isso vai acontecer. No entanto, essa não é uma condição necessária. Talvez uma pessoa que ganhou na loteria e não sabe o que fazer com o dinheiro se apaixone pela casa e queira comprar a qualquer custo. Dessa forma, a casa será vendida mesmo se a economia não melhorar.

Proposições que têm como operador principal uma bicondicional são chamadas de bicondicionais. Todas as proposições abaixo são bicondicionais:

• (A ∧ B) ↔ (P → Q)
• A ↔ E
• [ (A ∧ B) ∧ (P → Q) ] ↔ [ (E ∧ C) ∧ (P ↔ Q) ]