Conectivos lógicos

Para conectar proposições simples ou alterar seu valor de verdade, são usados os conectivos lógicos. A tabela abaixo lista os conectivos, seu símbolo, função e expressões do português que traduzem.

Quando dizemos que esses conectivos são usados para traduzir certas expressões do português é necessária cautela. As palavras do português geralmente têm mais de um significado, que se altera em função do contexto. Os conectivos lógicos, ao contrário, têm apenas um significado.

Entendido esse ponto, podemos ver como usar os conectivos para traduzir frases do português.

Negação

As três frases acima foram escritas de maneira diferente, mas, do ponto de vista lógico, têm o mesmo significado e são traduzidas da mesma forma. ~ T é uma forma de dizer que a proposição “Mariana gosta de Tiago” é falsa.

Em proposições compostas, a negação pode ser usada de duas maneiras. Frases como “se chover, a temperatura não irá aumentar” são representadas dessa forma: C → ~T.

Já frases como “é falso que chove e faz sol ao mesmo tempo” são representadas assim: ~ (C ^ S ). Nesse caso é necessário o uso de parênteses para evitar confusão. Caso essa frase fosse traduzida assim ~ C ∧ S, estaria dizendo “não chove e faz sol”.

A proposição ~ (C ^ S ) é chamada de negação, pois seu operador principal é a negação.

Quando usamos a notação correta para representar proposições do português geramos as chamadas “fórmulas bem formadas”, FBS para abreviar. Ser capaz de fazer isso é fundamental para usar tabelas de verdade para avaliar argumentos.

Conjunção

O símbolo de conjunção ∧ é usado para traduzir palavras como “e”, “também”, “além disso”, “mas”, “porém”, “ainda”, “contudo” etc. Observe as frases abaixo.

Na primeira linha da tabela, a proposição “Maria gosta de Pedro” é representada pela letra M, o conectivo “mas”, que é uma conjunção, pelo símbolo ∧ e a segunda proposição, “Pedro gosta de João”, pela letra J.

As proposições compostas cujo operador principal é uma conjunção são chamadas de conjunções. Sendo assim, todas as proposições abaixo são conjunções:

• (A ∧ B) ∧ (P → Q)
• A ∧ E
• [ (A ∧ B) ∧ (P → Q) ] ∧ [ (E ∧ C) ∧ (P ↔ Q) ]

Disjunção

O símbolo de disjunção ∨ é usado para traduzir a palavra “ou”.

Na primeira linha da tabela, M representa a proposição “Maria gosta de Pedro”, J a proposição “Maria gosta de João” e o símbolo ∨ representa o conectivo “ou”.

Proposições cujo operador principal é uma disjunção são chamadas de disjunções. Todas as proposições abaixo são disjunções:

• (A ∧ B) ∨ (P → Q)
• A ∨ E
• [ (A ∧ B) ∧ (P → Q) ] ∨ [ (E ∧ C) ∧ (P ↔ Q) ]

Condicional

O símbolo de condicional → é usado para traduzir expressões como “se… então…”, “se”, “no caso de”, “com a condição de que”. Exemplos:

No caso de proposições condicionais, é necessário um cuidado adicional ao traduzi-las para a linguagem simbólica. A ordem na qual as proposições são dispostas faz diferença. M → V e V → M são proposições diferentes e com valor de verdade diferente. Dizer “se a economia melhorar, irei vender minha casa” e “se vender minha casa, a economia vai melhorar” não é a mesma coisa.

Então, quando for traduzir proposições condicionais, deve antes identificar seu antecedente e consequente. O antecedente é a condição estabelecida para que um evento ocorra, o consequente. Na frase “se o passarinho se distrair, o gato vai atacar”, a condição antecedente é “se o passarinho se distrair”, pois estabelece a condição para que o consequente ocorra, o ataque do gato. Porém, na frase “venderei minha casa no caso da economia melhorar” essa ordem se inverte. A condição é estabelecida pela frase “se a economia melhorar” e o consequente é “venderei minha casa”.

Ao traduzir proposições condicionais, use a seguinte estrutura:

Antecedente → consequente

Proposições que têm como operador principal uma condicional são chamadas de condicionais. Todas as proposições abaixo são condicionais:

• (A ∧ B) → (P → Q)
• A → E
• [ (A ∧ B) ∧ (P → Q) ] → [ (E ∧ C) ∧ (P ↔ Q) ]

Bicondicional

O símbolo de bicondicional ↔ é usado para traduzir expressões como “se e somente se” e “é condição necessária e suficiente para”. Exemplos

A diferença entre proposições condicionais e bicondicionais se deve ao fato de que a primeira estabelece uma condição suficiente para a ocorrência de um evento e a segunda uma condição necessária e suficiente.

Compare a afirmação “te darei uma cadeira se e somente se não tiver uma” e “se a economia melhorar, venderei minha casa”. No primeiro caso, há uma condição que é necessária e suficiente para o presente: se a pessoa já tiver uma cadeira, não ganhará outra, caso tenha, ganhará uma. No segundo caso, a condição é apenas suficiente para vender a casa. A economia melhorando, isso vai acontecer. No entanto, essa não é uma condição necessária. Talvez uma pessoa que ganhou na loteria e não sabe o que fazer com o dinheiro se apaixone pela casa e queira comprar a qualquer custo. Dessa forma, a casa será vendida mesmo se a economia não melhorar.

Proposições que têm como operador principal uma bicondicional são chamadas de bicondicionais. Todas as proposições abaixo são bicondicionais:

• (A ∧ B) ↔ (P → Q)
• A ↔ E
• [ (A ∧ B) ∧ (P → Q) ] ↔ [ (E ∧ C) ∧ (P ↔ Q) ]

Praticar

1. Traduza as frases abaixo em fórmulas bem formadas.

• O Google não produz sapatos.

  Resposta correta: ~G.

  A proposição “o Google produz sapatos” foi traduzida por G e foi acrescentada uma negação.

• O Rio Grande do Sul tem praias, mas o Mato Grosso não.

  Resposta correta: R ∧ ~M.

  O conectivo “mas” é uma conjunção, assim foi traduzido com ∧. R significa “Rio grande do Sul tem praias” e ~M significa “Mato Grosso não tem praias”.

• Tanto a Universidade Federal de Santa Maria quanto a Universidade Federal do Rio Grande do Sul têm curso de Filosofia.

  Resposta correta: S ∧ R.

  A expressão “tanto…quanto” é uma conjunção. S significa “a UFSM tem curso de filosofia” e R “a UFRGS tem curso de filosofia”.

• A temperatura irá diminuir se chover.

  Resposta correta: C → T.

  A proposição é uma condicional, porém é necessário cuidado ao organizar suas proposições simples. “Se chover” C é o antecedente e “a temperatura irá diminuir” T o consequente. Por isso C vem primeiro na fórmula e depois T.

• Irei à escola amanhã se e somente se não houver aula de lógica.

  Resposta correta: I ↔ ~L

  “Se e somente se” é uma bicondicional.

• Se aprender como construir fórmulas bem formadas de proposições, irei ir bem na prova e serei aprovado.

  Resposta correta: A → (B ∧ S)

  A proposição é uma condicional, porém seu consequente é uma conjunção, por isso o uso de parênteses. A proposição “Irei bem na prova e serei aprovado” foi traduzida por B ∧ S.

• Se adotarmos carros elétricos, a quantidade de CO2 enviado para atmosfera por ações humanas será menor.

  Resposta correta: E → M

  A proposição é uma condicional.

• Nem a Ferrari, nem a Porsche fazem carros econômicos.

  Resposta correta: ~F ∧ ~P.

  “Nem… nem” gera uma conjunção de negações.

• Nem a Ferrari, nem a Porsche fazem carros econômicos.

  Resposta correta: ~F ∧ ~P.

  “Nem… nem” gera uma conjunção de negações.

• Tanto a Google quanto a Amazom são empresas bilionárias.

  Resposta correta: G ∧ A..

  “Tanto… quanto” é uma conjunção.

• O governo investir em educação básica é uma condição necessária para a melhora da qualidade de ensino no Brasil.

  Resposta correta: M ↔ I.

  Se o investimento é uma condição necessária, então a educação vai melhorar se e somente se ele ocorrer. Por isso a fórmula dessa proposição é M ↔ I, na qual M significa “educação melhor no Brasil” e I “investimento do governo”.

• Ações afirmativas são, no curto prazo, uma condição necessária e suficiente para que mais pessoas negras entrem nas universidades públicas.

  Resposta correta: N ↔ A.

  Uma condição necessária e suficiente é traduzida pela bicondicional. Portanto: N ↔ A, na qual N significa “mais pessoas negras em universidades públicas no curto prazo” e A “ações afirmativas”.

2. Identifique se as fórmulas abaixo são fórmulas bem formadas e o que há de errado com elas.

• ∼(K ⋁ L) (→ G ⋁ H)

  Há dois problemas com essa fórmula. Primeiro: falta um conectivo ligando as fórmulas dentro dos parênteses. Segundo: a condicional antes de G não tem um antecedente.

• (E∼F) ⋁ (W ↔ X)

  A negação não serve para ligar duas proposições, ela apenas altera o valor de verdade de uma delas. Sendo assim, falta um conectivo para ligar E à ~F.

• (B → ∼T) ↔ ∼(∼C → U)

  Essa é uma fórmula bem formada.

• (F ↔ ∼Q) (A → E ⋁ T)

  Há dois problemas. Falta um conectivo ligando as fórmulas entre parênteses. E a fórmula (A → E ⋁ T) não faz sentido. É necessário colchetes, dessa forma, por exemplo: [A → (E ⋁ T)]

• D ⋁ ∼[(P → Q) (T → R)]

  O único problema dessa fórmula é a falta de um conectivo ligando (P → Q) à (T → R).

• M(N → Q) ⋁ (∼C D)

  Falta um conectivo depois de M e depois de ~C. Além disso, caso fossem adicionados os conectivos necessários, por exemplo, M → (N → Q) ⋁ (∼C D), seria necessário adicionar colchetes. Dessa forma M → [(N → Q) ⋁ (∼C D)] ou dessa [M → (N → Q)] ⋁ (∼C D).

• ∼(F ⋁ ∼G) → [(A ↔ E) ∼H]

  Falta um conectivo ligando (A ↔ E) à ~H. A negação não serve para ligar diferentes proposições, só para alterar o valor de verdade de uma.

• (R ↔ S T) → ∼(∼W ∼X)

  Falta um conectivo ligando S e T. Se ele fosse adicionado, seria necessário colchetes[R ↔ (S ⋁ T)]. Também falta um conectivo para ligar ~W à ~X.